Critère de Cauchy

Critère

Suites

Fonction

Critère de Cauchy :
Si $f:[a,+\infty[$ est continue, alors $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ existe si et seulement si $${{\forall\varepsilon\gt 0,\exists M\geqslant a}},\quad\left( {{u,v\geqslant M}}\implies{{\left|f(u)-f(v)\right|\lt \varepsilon}}\right)$$

Série

Critère

critère de Cauchy :
Une série $\sum^{+\infty}_{k=0}u_k$ converge si et seulement si $$\begin{align}&{{\forall\varepsilon\gt 0,\exists n_0\in{\Bbb N},\forall m,n\geqslant n_0\quad\lvert u_n+\cdots+u_m\rvert\lt \varepsilon}}\\ &\iff{{\left|\sum^{m}_{k=n+1} u_k\right|\lt \varepsilon}}\end{align}$$

Conséquences

La convergence d'une série ne dépend pas des premiers termes de la série

Si la série $(S_n)$ de terme général $(u_n)_{n\in\Bbb N}$ converge, alors $$u_n\longrightarrow0$$

(Série numérique)

Une série absolument convergente est convergente

(Série absolument convergente)

Intégrale

Critère de Cauchy :
Si $f:[a,+\infty[$ est continue, alors l'intégrale impropre $\int^{+\infty}_af(t)\,dt$ converge si et seulement si $${{\forall\varepsilon\gt 0,\exists M\geqslant a}},\quad\left( {{u,v\geqslant M}}\implies{{\left|\int^v_uf(t)\,dt\right|\lt \varepsilon}}\right)$$

Suite de fonctions

Convergence simple

Critère de Cauchy :
Une suite de fonctions $f_n:X\to{\Bbb R}$ converge simplement sur $X$ si et seulement si elle vérifie l'une de ces conditions :
- $\forall x\in X$, la suite $(f_n(x))_{n\in\Bbb N}$ converge
- $\forall x\in X$, la suite $(f_n(x))_{n\in\Bbb N}$ est de Cauchy
- $$\forall x\in X,\exists\varepsilon\gt 0,\exists N_{\varepsilon,n},\qquad q\geqslant p\geqslant N_{\varepsilon,n}\implies\lvert f_q(x)-f_p(x)\rvert\lt \varepsilon$$

(Convergence simple - Convergence point-par-point (suite de fonctions))

Convergence uniforme

critère de Cauchy :
Une suite de fonctions $f_n:X\to{\Bbb R}$ converge uniformément sur le domaine $X$ si et seulement si elle vérifie la propriété suivante : $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists N_\varepsilon,\qquad q\geqslant p\geqslant N_\varepsilon\implies \lvert f_q(x)-f_p(x)\rvert\lt \varepsilon\quad(\forall x\in X)$$

(Convergence uniforme (suite de fonctions))

Consigne: Montrer qu'une suite de fonctions $f_n:X\to{\Bbb R}$ converge uniformément sur le domaine $X$ si et seulement si elle vérifie la propriété suivante : $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists N_\varepsilon,\qquad q\geqslant p\geqslant N_\varepsilon\implies \lvert f_q(x)-f_p(x)\rvert\lt \varepsilon\quad(\forall x\in X)$$(critère de Cauchy)

Suite de Cauchy $\to$ convergence simple
On suppose que l'on a : $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists N_\varepsilon,\qquad q\geqslant p\geqslant N_\varepsilon\implies \lvert f_q(x)-f_p(x)\rvert\lt \varepsilon\quad(\forall x\in X)$$ si on fixe $x\in X$ alors cette relation s'applique à ce $x$ particulier, ce qui prouve que $(f_n(x))$ est une suite de Cauchy
Donc cette suite $(f_n(x))$ converge vers une limite $f(x)=\lim_n f_n(x)$

Convergence uniforme $\to$ faire tendre $q\to+\infty$

Montrons que cette convergence est uniforme sur $X$ :
Si on fait $q\to+\infty$ dans : $$\forall\varepsilon\gt 0,\qquad q\geqslant p\geqslant N_{\varepsilon/2}=\lvert\underbrace{f_q(x)}_{\to f(x)}-f_p(x)\rvert\lt \frac\varepsilon2\quad(\forall x\in X)$$ on obtient : $$\forall\varepsilon\gt 0,\qquad p\geqslant N_{\varepsilon/2}\implies\lvert f(x)-f_p(x)\rvert\leqslant\frac\varepsilon2\lt \frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon\quad(\forall x\in X)$$
Ce qui prouve que $f_p\to f$ vérifie la propriété de définition de convergence uniforme

(Suite de Cauchy)

Exercices

Suites de fonctions

Consigne: Montrer qu'une limite uniforme sur ${\Bbb R}$ de fonctions polynomiales est nécessairement une fonction polynômiale

Un polynôme borné sur ${\Bbb R}$ est constant
$$\begin{align} P(x)&=a_dx^d+\ldots+a_1x+a_0&\quad\text{ avec }\quad a_d\ne0\\ &=\underbrace{x^d}_{\text{diverge}}\underbrace{\left( a_d+\frac{a_{d-1}}x+\ldots+\frac{a_0}{a_d}\right)}_{\longrightarrow a_d\text{ quand }x\to+\infty\text{ ou }x\to-\infty}\end{align}$$

Hypothèses
On suppose que la suite de polynômes $(P_n)_n$ converge uniformément vers $f$ sur ${\Bbb R}$ $$P_n(x)=a_{n,d(n)}x^{d(n)}+\ldots+a_{n,1}x+a_{n,0}$$
$P_n\to f$ uniformément donc $\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\sup_{x\in{\Bbb R}}\lvert P_n(x)-f(x)\rvert=0$

Donc majoré par $1$ à partir d'un certain rang
Il existe donc $n_0$ tel que :$$\forall n\geqslant n_0,\forall x\in{\Bbb R},\qquad\lvert P_n(x)-f(x)\rvert\lt 1$$

Respecte le critère de Cauchy
$$\begin{align}\implies\exists n_0,\forall n,m\geqslant n_0,\forall x\in{\Bbb R},\qquad\lvert P_n(x)-P_m(x)\rvert&=\lvert P_m(x)-f(x)+f(x)-P_n(x)\rvert\\ &\leqslant\lvert P_n-f(x)\rvert+\lvert P_m-f(x)\rvert\\ &\leqslant2\end{align}$$

Différence entre les deux polynômes est constante
Soit $Q_{n,m}=P_n(x)-P_m(x)$
Alors $Q_{n,m}$ est un polynôme borné, et donc constant. Donc $$\exists c_{n,m}\in{\Bbb R},\qquad Q_{n,m}(x)=P_n(x)-P_m(x)=c_{n,m}$$

En tant que somme de deux polynômes, $P_n$ a pour limite un polynôme

Prenons $m=n_0$ : $$\forall x\in{\Bbb R},\qquad P_n(x)=P_{n_0}(x)+c_n\quad\text{ avec }\quad c_n=c_{n,n_0}$$
Et donc $P_n\longrightarrow P$ avec $P$ un polynôme

(Fonction polynômiale)

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